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こんにちは。
予備知識として、POP3は受信用・SMTPは送信用のプロコトルのことです。QNAPは送信しかしないのでPOP3は使いません。今回はSMTPについての回答をさせて頂きます。
QNAPがインターネットに出られずネットワークへのアクセスは出来る状況とのことですので、Gmail等のオンラインメールアカウントは使えません。レンタルサーバーをメールサーバーに設定していてもインターネットに出られないので使うことが出来ません。
私が思いつく限り、ネットワーク内に専用メールサーバーを立てることで解決すると考えます。
理論的にネットワーク内にメールサーバーを立ててやれば、QNAPはメールサーバーとの通信プロコトルとしてSMTPを設定し、メールサーバーからnobbykondo様のメールアドレスに送信することでアラートメールが受信できるはずです
ですが、無駄に設備が必要になりますので現実的ではないような気がします・・・
あくまでひとつの案として参考にしてみて下さい。